1.1 数制与编码

一、数制定义

• 数制（进位制）：用有限的符号按 “位值” 与 “基数” 表示数值的系统。
• 基数 r：每一位可取的符号个数。
• 位权：第 k 位权重 = rᵏ（k 从 0 开始）。

二、四种常见数制

进制	基数	符号	前缀 / 后缀	典型场景
二进制	2	0, 1	0b / %	数字逻辑、机器码
八进制	8	0–7	0o	Unix 权限、早期体系结构
十进制	10	0–9	无	人类日常、金融
十六进制	16	0–9, A–F	0x	内存地址、颜色代码

三、进制转换方法

3.1 任意进制 → 十进制

公式：

$$\sum _{i=0}^n{d}_i\times r^i$$

• d（digit）：每一位上的 “数字” 本身。

• r（radix）：进制（或叫 “基数”）。

• 示例： 0x1A3 = 1×16² + 10×16¹ + 3×16⁰ = 419₁₀

• 通用性: 事实上，该公式对于小数点后的数字也通用，只是将$r$ 的指数变为负数

3.2 十进制 → 任意进制

• 图一：十进制转二进制示意图

  整数部分：除基取余（逆序）

• 小数部分：乘基取整（顺序）

• 示例：
  100₁₀ → 二进制

  100 ÷ 2 = 50 余 0
  50 ÷ 2 = 25 余 0
  25 ÷ 2 = 12 余 1
  12 ÷ 2 = 6 余 0
  6 ÷ 2 = 3 余 0
  3 ÷ 2 = 1 余 1
  1 ÷ 2 = 0 余 1

  从下往上读余数 → 0b1100100

3.3 2 ↔ 8 ↔ 16 快速互换

源进制	目标进制	分组规则	示例
2 → 8	每 3 位	0b101 001 101 = 0o515
2 → 16	每 4 位	0b1010 0110 = 0xA6
8 → 2	1 位变 3 位	0o17 = 0b001 111
16 → 2	1 位变 4 位	0xF = 0b1111

3.4 有意思的补充

其实数制的基数不仅可以是整数，还可以是负数甚至无理数 负数进制很简单，符合上述进制转换公式

$$N_{10}=\sum _{i=0}^n{d}_i\times r^i$$

3.4.1 更神奇的数制系统 - 斐波那契及黄金分割进制

• 斐波那契数制系统 所有的斐波那契数列能组成一个数组 Fib = {1,2,3,5,8,13,21,34,...} 斐波那契数制系统中只存在两种 digit: 0 和 1 所以向转换十进制的公式为:$$N_{10}=\sum _{i=0}^n{d}_i\times Fi{b}_i$$
• 特性 由于数组中$Fib[i+2]=Fib[i+1]+Fib[i]$ 因此任何一位上的 1 都可以等效替代为.11 eg: ${100}_{Fib}={011}_{Fib}$ 不过习惯上完整表达一个数时，必须将 11 替换为下一位的 1
• 黄金分割进制 ——Bergman 进制 非常少见的一种进制 完全符合上述斐波那契进制的特性 但其使用黄金比 φ 作为基数 因此也适合用来表示无理数

四、速查表

十进制	二进制	八进制	十六进制
0	0	0o0	0x0
7	111	0o7	0x7
15	1111	0o17	0xF
255	11111111	0o377	0xFF

五、典型应用

• IPv4 地址：点分十进制 192.168.0.1
• IPv6 地址：冒分十六进制 2001:0db8::1
• 颜色代码： #RRGGBB 如 #FF0000 红色
• Unix 权限： rwxr-xr-x → 二进制 111 101 101 → 八进制 0o755
• 调试器 / 反汇编：查看内存 0x004005B0 处的机器码 48 89 e5… （十六进制字节）

六、延伸阅读

• BCD 码、格雷码、IEEE-754 浮点
• 位运算：AND、OR、XOR、Shift 与掩码技术
• 字符编码：ASCII（7 位）、UTF-8（可变字节）、Base64（6 位→可打印）

七、编码与数制的关系

• 编码：把 “信息→数值→二进制” 的二次映射，需兼顾人类可读性与机器高效性。
• 数制决定符号集与位权；编码决定符号排列规则与检错 / 容错特性。

7.1 BCD 码（Binary-Coded Decimal）

项目	说明
定义	每 1 位十进制数用 4 位二进制（即 1 个十六进制位）独立表示。
权值	8-4-2-1（纯二进制权），又称 8421-BCD。
示例	59₁₀ → 0101 1001（BCD），而非 0011 1011₂。
与十六进制区别	十六进制用满 4 位 0–F；BCD 仅使用 0–9，冗余 6 个状态（A–F）。
压缩 BCD	每字节存 2 位十进制，高 4 位 + 低 4 位。
优点	直接与人读十进制对齐，便于显示 / 键盘输入。
缺点	冗余、运算需 “加 6 校正” → 效率低。
典型应用	早期计算器、数字仪表、金融终端、ISO-8583 报文。

7.2 格雷码（Gray Code）

图二：格雷码示意图

项目	说明
定义	相邻两个数仅 1 位 变化；是一种 无权码（位权不固定）。
二进制→格雷	最高位保留，其余位： G[i] = B[i] XOR B[i+1] ，XOR 的意思是异或
格雷→二进制	B[i] = G[i] XOR B[i+1] （从最高位向下递推）
示例	3 位格雷码序列：000→001→011→010→110→111→101→100
与数制关系	仍用二进制符号，但 重新排列顺序 以消除多位同时翻转。
优点	消除瞬态毛刺，提高可靠性；旋转编码器一圈对应单比特跳变。
缺点	运算不便，需与二进制互转。
典型应用	旋转编码器、ADC 比较器、FIFO 指针跨时钟域、K-map 卡诺图。

八、小结：数制 ↔ 编码对照

操作	数制	编码	关注点
符号集	0–(r-1)	0,1 重组	冗余 / 检错
位权	固定 rᵏ	可固定（BCD）或无（格雷）	运算 / 映射
人读性	十进制最友好	BCD 直接映射十进制	显示 / 输入
机器性	二进制最简洁	格雷抗翻转	传感 / 同步

clh,

25.8.7